Makalah Matematika Dasar
PELUANG
Disusun guna memenuhi tugas mata kuliah Matematika
Dasar
Dosen pengampu: Rahayu Condro Murti, M.Si.
Disusun oleh
:
Ardyati Rakhmatika Noor ( 1B / 11108241105
)
Firma Dwi Ilmiyati ( 1B / 11108244
Wiwid Muhammad Husni ( 1B / 11108244
Novia Ika Putri Utami ( 1B / 11108244047)
S1 PENDIDIKAN GURU SEKOLAH DASAR
PENDIDIKAN PRASEKOLAH DAN SEKOLAH DASAR
FAKULTAS ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA
2011
KATA PENGANTAR
Assalammualaikum wr. wb.
Alhamdulillahirabbilalamin,
puji serta syukur kita panjatkan kehadirat Illahi Robbi, karena berkat rahmat,
karunia serta hidayah-Nya, kami dapat menyelesaikan tugas kelompok ini yang
berjudul “PELUANG” . Tak lupa salawat serta salam semoga tetap tercurah kepada
junjunan Nabi Muhammad SAW, kepada para sahabatnya, dan sampai kepada kita
sebagai umatnya. Amin.
Penyusunan tugas ini
diajukan untuk memenuhi salah satu tugas mata kuliah Psikologi Umum. Adapun isi
dari tugas ini mengenai pengertian dari peluang serta implementasinya di
kehidupan sehari – hari.
Kami mohon maaf apabila
terdapat kesalahan dan kekeliruan dalam pembuatan tugas ini. Kami sadari tugas
ini masih jauh dari kesempurnaan, karena tak ada manusia yang sempurna.
Kebenaran hanyalah milik Allah SWT. Oleh karena itu, kami sangat membutuhkan
kritik dan saran dari para pembaca.
Akhirnya semoga tugas
ini dapat bermanfaat bagi kita semua. Semoga Allah SWT senantiasa melimpahkan
bimbingan-Nya serta rahmat-Nya kepada kita semua. Amin.
Wassalammualaikum wr.
wb.
Yogyakarta, November 2011
1.
Pengertian Peluang
Dasar logika proses pengambilan inferensi statistik tentang suatu
populasi dengan analisa data sampel adalah peluang. Peluang adalah bilangan
yang menunjukkan seberapa besar kemungkinan suatu peristiwa akan terjadi.
Peluang mempunyai nilai antara 0 dan 1. Peluang berhubungan dengan percobaan
yang menghasilkan sesuatu yang tidak pasti.
2.
Ruang sampel dan kejadian ( peristiwa )
Ruang sampel (sample space) adalah
himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan. Peristiwa (kejadian,
event) adalah himpunan bagian dari ruang sampel
♣ Peristiwa
sederhana: hanya memuat 1 elemen saja
♣ Peristiwa
bersusun: gabungan dari peristiwa-peristiwa sederhana
♣ Jika hasil
suatu experimen termasuk dalam himpunan A, maka dapat dikatakan bahwa peristiwa
A telah terjadi.
Percobaan adalah suatu tindakan atau
proses pengamatan yang menghasilkan outcome yang tak dapat diperkirakan
kepastiannya.
Notasi :
♣ Ruang sampel ditulis dengan notasi S
♣ Peristiwa dinotasikan dengan huruf besar: peristiwa2 A, B, C, dst.
♣ Anggota (elemen) ruang sample dinotasikan dengan huruf kecil: a1, a2,
a3, dst. Anggota / elemen ruang (sample point)
♣ Jika ruang sampel S beranggotakan a1, a2, dan a3, maka ruang sampel yang
bersangkutan dapat disajikan sebagai: S = {a a1, a , a2, a , a3}
♣ Jika peristiwa
A beranggotakan a1, a2, dan a3, maka peristiwa yang bersangkutan dapat
dinotasikan sebagai A = {a1, a2, a3}
Contoh 1
Percobaan: Koin (head dan tail) dilempar 1 kali
Hasil: tampak H (head) atau T (tail)
Ruang sampel S = {H, T}
Peristiwa: A = {H, T}
Contoh 2
Percobaan: Pelemparan 2 buah koin (H dan T) sekaligus
Hasil: HH (H&H), TT (T&T), atau HT (H&T)
Ruang sampel: S = {HH, HT, TT}
Peristiwa: 1. Keduanya sama, A = {HH, TT}
2. Keduanya berbeda B = {HT}
Contoh 3
Percobaan: pelemparan 1 buah koin 2 kali berturutan
Hasil: HH (H kemudian H), HT (H kem T), TH (T kem H), atau TT.
Ruang sampel: S {HH, HT, TH, TT}
Peristiwa: 1. Berturutan sama, A = {HH, TT}
2. Berturutan beda, B = {HT, TH}
Anggota peristiwa A berbeda dengan anggota peristiwa B atau,
Peristiwa: 1. Muncul gambar yang sama, B = {HH, TT}
2. Paling sedikit muncul 1 H, A = {HH, HT, TH}
Anggota peristiwa A menjadi anggota peristiwa B, yaitu HH
Definisi-definisi
1.
Experiment adalah proses observasi yang mengarah
ke single outcome (hasil tunggal), yang tak dapat diperkirakan.
2.
Data
sampel (sampel point)
adalah outcome yang paling mendasar dari suatu percobaan.
3.
Ruang
sampel (sample space)
dari suatu percobaan adalah kumpulan / koleksi / himpunan dari semua data
sampel yg mungkin dihasilkan. Semua data sampel ini merupakan anggota ruang
sampel, yang peluangnya totalnya = 1.
4.
Peristwa
atau kejadian (event)
adalah koleksi / himpunan data sampel yang spesific (mempunyai sifat khusus).
3.
Peluang Suatu Kejadian
Aksioma peluang :
Setiap kejadian di ruang sampel dikaitkan dengan bilangan antara 0 dan 1,
bilangan tersebut disebut peluang.
a.
Kejadian yang tak mungkin terjadi
mempunyai pelauang nol dan dinamakan kejadian mustahil.
b.
Kejadian yang pasti terjadi mempunyai
peluang satu (peluang ruang sampel adalah satu)
c.
Peluang kejadian A bernilai antara 0 dan
1, yaitu 0 £ P (A) £1
d.
Jika A dan B adalah kejadian sehingga AÇB = Æ,maka
P(AÈB) = P(A) + P
(B)
Berdasarkan definisi di atas kita akan
menentukan arti peluang dari kejadian sederhana. Jika kita mempunyai ruang
sampel dengan anggota sebanyak n.
selanjutnya jika kita anggap bahwa kesempatan muncul setiap anggota tersebut
juga sama. Jika peluang muncul satu anggota adalah p, dan berdasarkan Aksioma (2),maka
p+
p+ p+…+ p =1
n suku
np =
1 Û
p =
Misalnya pada [elemparan satu dadu
berisi enam,peluang muncul angka 2 adalah
P =
=
Sifat : Nilai Peluang
Dalam ruang sampel (S) yang setiap kejadian sederhana
mempunyai peluang yang sama, maka peluang kejadian A adalah
P(A) =
=
Contoh
Kita mempunyai 4 bola putih (P) dan 3 bola merah (M).
kemudian diambil satu bola secara acak. Tentukan peluang terambil bola merah.
Penyelesaian
Ruang
sampel dari pengambilan satu bola adalah S = {P,P,P,P,M,M,M} dengan setiap bola
mempunyai peluang yang sama untuk terambil. Misalnya kejadian terambil bola
merah adalah A, maka n(A) = 3.
Jadi,peluang kejadian terambilnya bola merah adalah P(A) =
.
4. Frekuensi Harapan
Frekuensi harapan adalah peluang kejadian tersebut dikalikan banyak
percobaan. Misalnya kita melakukan n
kali percobaan dan A adalah kejadian dengan peluang p dengan (0 £ p£ 1). Frekuensi harapan dari kejadian A adalah p Î
n. Jika E adalah suatu kejadian dalam
ruang contoh S dan P(E) adalah peluang terjadinya E dalam n kali percobaan maka frekuensi harapan kejadian E didefinisikan :
F(E) = P(E) Î n
Contoh
Sekeping uang logam dilempar 30 kali,maka frekuensi
harapan muncul gambar adalah. . .
Penyelesaian
F(G) =
Î
30 = 15 kali
5. Kejadian Majemuk
Kejadian majemuk dapat dibentuk dengan
cara menggabungkan dua atau lebih kejadian sederhana. Dengan menggunakan
operasi antarhimpunan,suatu kejadian majemuk dapat dibentuk dari dua kejadian
majemuk yang lain. Operasi antarhimpunan yang dimaksudkan adalah operasi
gabungan (union) dan opersi irisan.
|
Gambar. Daerah yang
diarsir menyatakan A È B
|
|
Gambar. Daerah yang
diarsir menyatakan A Ç B
|
6. Peluang dari Gabungan Kejadian
Misalnya A dan B adalah dua kejadian
yang terdapat dalamruang sampel S,maka peluang kejadian A atau B adalah P(AÈB) = P(A) + P(B) – P(AÇB)
7. Peluang Gabungan Dua kejadian Saling Lepas
Apabila A dan B merupakan dua kejadian
yang saling lepas ,maka peluang gabungan dua kejadian itu adalah P(AÈB) =
P(A) + P(B).
8. Peluang Komplemen suatu kejadian
Misal sebuah dadu bersisi enam dilempar sekali. Kejadian A adalah
munculnya bilangan 3 dan ditulis A = {3}. Kejadian A¢ adalah munculnya bukan
bilangan 3, ditulis A¢ (dibaca: A komplemen) = {1,2,3,4,5,6}. Diagram Venn
untuk himpunan A dan A¢ dapat digambarkan seperti berikut.
Dari gambar di atas tampak bahwa AÇA¢ = Æ
sehingga kejadian A dan kejadian A¢ merupakan kejadian yang saling lepas. Dengan demikian
berlaku hubungan
P(AÈA¢) =
P(A) + P(A¢) (*)
Karena A¢ merupakan komplemen A , maka AÈA¢ = S atau n(AÈA¢) = n (S). Jadi,
P(AÈA¢) =
=
= 1 (**)
Substitusi persamaan (**) ke persamaan (*) akan
menghasilkan
P(AÈA¢) = 1
= P(A) + P(A¢) Û P(A¢) = 1
– P(A)
Sehingga dapat dinyatakan bahwa
Apabila A dan A¢ merupakan dua buah kejadian yang saling komplemen, maka
peluang komplemen kejadian A, ditulis P(A¢),
adalah P(A¢) = 1 – P(A)
9. Kejadian yang Saling Bebas
Misalkan dua buah bola akan diambil
secara acak dari sebuah tas yang memuat 4 bola merah dan 3 bola biru. Berapa
peluang keduanya bola merah? Jika A kejadian mendapatkan bola merah pada
pengambilan pertama dan B kejadian mendapatkan bola merah pada pengambilan
kedua. Ruang sampel S di bawah ini akan disajikan dengan dua versi yaitu dengan
pengembalian dan tanpa pengembalian. Persoalan yang akan dibahas adalah P(A dan
B) atau P(A Ç
B).
1.
Bola
pertama dikembalikan sebelum bola kedua diambil.
Ruang sampel S memuat 49 elemen (7 Î
7),
A dan B memuat 16 elemen (4 Î
4)
Maka : P(A Ç B) =
=
P(A Ç B) = P(A) .
P(B)
Hasil dari A Ç B terletak di daerah persegi pada gambar di atas.
2.
Bola pertama tidak dikembalikan sebelum
bola kedua diambil. Pada pengambilan pertama kita dapat memilihi 1 dari 7 bola,
tapi pada pengambilan kedua hanya ada 6 pilihan. Jadi, ruang sampel memuat 6
elemen. Kejadian A dan B memuat 4 Î
3 atau 12 elemen, sebab 4 bola merah dapat dipilih pada pengambilan pertama,
dan hanya 3 pilihan bola merah pada pengambilan kedua,
Maka P(A Ç B) =
P(A Ç
B) =
P(A Ç
B) = P(A) . P(B/A)
Peluang kejadian B dengan syarat A
telah terjadi.
Contoh tersebut secara umum
disebut peluang bersyarat
Untuk
P(A) peluang kejadian A, P(B/A) peluang kejadian B dengan syarat A telah
terjadi. Jika P(A Ç
B) peluang terjadinya A dan B, maka P(A Ç B) = P(A) . P(B/A)
Dua kejadian seperti tersebut dinamakan tidak saling bebas. Jika P(B/A) = P(B) maka akan diperoleh
P(A
Ç B) = P(A) . P(B)
Dan dua kejadian tersebut dinamakan saling bebas.
