Peluang MAtematika

Makalah Matematika Dasar

PELUANG

Disusun guna memenuhi tugas mata kuliah Matematika Dasar

Dosen pengampu: Rahayu Condro Murti, M.Si.

Disusun oleh :

Ardyati Rakhmatika Noor ( 1B / 11108241105 )

Firma Dwi Ilmiyati ( 1B / 11108244

Wiwid Muhammad Husni ( 1B / 11108244

Novia Ika Putri Utami ( 1B / 11108244047)

S1 PENDIDIKAN GURU SEKOLAH DASAR

PENDIDIKAN PRASEKOLAH DAN SEKOLAH DASAR

FAKULTAS ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA

2011

KATA PENGANTAR

Assalammualaikum wr. wb.

Alhamdulillahirabbilalamin, puji serta syukur kita panjatkan kehadirat Illahi Robbi, karena berkat rahmat, karunia serta hidayah-Nya, kami dapat menyelesaikan tugas kelompok ini yang berjudul “PELUANG” . Tak lupa salawat serta salam semoga tetap tercurah kepada junjunan Nabi Muhammad SAW, kepada para sahabatnya, dan sampai kepada kita sebagai umatnya. Amin.

Penyusunan tugas ini diajukan untuk memenuhi salah satu tugas mata kuliah Psikologi Umum. Adapun isi dari tugas ini mengenai pengertian dari peluang serta implementasinya di kehidupan sehari – hari.

Kami mohon maaf apabila terdapat kesalahan dan kekeliruan dalam pembuatan tugas ini. Kami sadari tugas ini masih jauh dari kesempurnaan, karena tak ada manusia yang sempurna. Kebenaran hanyalah milik Allah SWT. Oleh karena itu, kami sangat membutuhkan kritik dan saran dari para pembaca.

Akhirnya semoga tugas ini dapat bermanfaat bagi kita semua. Semoga Allah SWT senantiasa melimpahkan bimbingan-Nya serta rahmat-Nya kepada kita semua. Amin.

Wassalammualaikum wr. wb.

Yogyakarta, November 2011

1. Pengertian Peluang

Dasar logika proses pengambilan inferensi statistik tentang suatu populasi dengan analisa data sampel adalah peluang. Peluang adalah bilangan yang menunjukkan seberapa besar kemungkinan suatu peristiwa akan terjadi. Peluang mempunyai nilai antara 0 dan 1. Peluang berhubungan dengan percobaan yang menghasilkan sesuatu yang tidak pasti.

2. Ruang sampel dan kejadian ( peristiwa )

Ruang sampel (sample space) adalah himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan. Peristiwa (kejadian, event) adalah himpunan bagian dari ruang sampel

♣ Peristiwa sederhana: hanya memuat 1 elemen saja

♣ Peristiwa bersusun: gabungan dari peristiwa-peristiwa sederhana

♣ Jika hasil suatu experimen termasuk dalam himpunan A, maka dapat dikatakan bahwa peristiwa A telah terjadi.

Percobaan adalah suatu tindakan atau proses pengamatan yang menghasilkan outcome yang tak dapat diperkirakan kepastiannya.

Notasi :

♣ Ruang sampel ditulis dengan notasi S

♣ Peristiwa dinotasikan dengan huruf besar: peristiwa2 A, B, C, dst.

♣ Anggota (elemen) ruang sample dinotasikan dengan huruf kecil: a1, a2, a3, dst. Anggota / elemen ruang (sample point)

♣ Jika ruang sampel S beranggotakan a1, a2, dan a3, maka ruang sampel yang bersangkutan dapat disajikan sebagai: S = {a a1, a , a2, a , a3}

♣ Jika peristiwa A beranggotakan a1, a2, dan a3, maka peristiwa yang bersangkutan dapat dinotasikan sebagai A = {a1, a2, a3}

Contoh 1

Percobaan: Koin (head dan tail) dilempar 1 kali

Hasil: tampak H (head) atau T (tail)

Ruang sampel S = {H, T}

Peristiwa: A = {H, T}

Contoh 2

Percobaan: Pelemparan 2 buah koin (H dan T) sekaligus

Hasil: HH (H&H), TT (T&T), atau HT (H&T)

Ruang sampel: S = {HH, HT, TT}

Peristiwa: 1. Keduanya sama, A = {HH, TT}

2. Keduanya berbeda B = {HT}

Contoh 3

Percobaan: pelemparan 1 buah koin 2 kali berturutan

Hasil: HH (H kemudian H), HT (H kem T), TH (T kem H), atau TT.

Ruang sampel: S {HH, HT, TH, TT}

Peristiwa: 1. Berturutan sama, A = {HH, TT}

2. Berturutan beda, B = {HT, TH}

Anggota peristiwa A berbeda dengan anggota peristiwa B atau,

Peristiwa: 1. Muncul gambar yang sama, B = {HH, TT}

2. Paling sedikit muncul 1 H, A = {HH, HT, TH}

Anggota peristiwa A menjadi anggota peristiwa B, yaitu HH

Definisi-definisi

1.        Experiment adalah proses observasi yang mengarah ke single outcome (hasil tunggal), yang tak dapat diperkirakan.

2.        Data sampel (sampel point) adalah outcome yang paling mendasar dari suatu percobaan.

3.        Ruang sampel (sample space) dari suatu percobaan adalah kumpulan / koleksi / himpunan dari semua data sampel yg mungkin dihasilkan. Semua data sampel ini merupakan anggota ruang sampel, yang peluangnya totalnya = 1.

4.        Peristwa atau kejadian (event) adalah koleksi / himpunan data sampel yang spesific (mempunyai sifat khusus).

3. Peluang Suatu Kejadian

Aksioma peluang :

Setiap kejadian di ruang sampel dikaitkan dengan bilangan antara 0 dan 1, bilangan tersebut disebut peluang.

a.         Kejadian yang tak mungkin terjadi mempunyai pelauang nol dan dinamakan kejadian mustahil.

b.        Kejadian yang pasti terjadi mempunyai peluang satu (peluang ruang sampel adalah satu)

c.         Peluang kejadian A bernilai antara 0 dan 1, yaitu 0 £ P (A) £1

d.        Jika A dan B adalah kejadian sehingga AÇB = Æ,maka P(AÈB) = P(A) + P (B)

Berdasarkan definisi di atas kita akan menentukan arti peluang dari kejadian sederhana. Jika kita mempunyai ruang sampel dengan anggota sebanyak n. selanjutnya jika kita anggap bahwa kesempatan muncul setiap anggota tersebut juga sama. Jika peluang muncul satu anggota adalah p, dan berdasarkan Aksioma (2),maka

p+ p+ p+…+ p =1

n suku

np = 1 Û p =

Misalnya pada [elemparan satu dadu berisi enam,peluang muncul angka 2 adalah

P =  =

Sifat : Nilai Peluang

Dalam ruang sampel (S) yang setiap kejadian sederhana mempunyai peluang yang sama, maka peluang kejadian A adalah

P(A) =  =

Contoh

Kita mempunyai 4 bola putih (P) dan 3 bola merah (M). kemudian diambil satu bola secara acak. Tentukan peluang terambil bola merah.

Penyelesaian

Ruang sampel dari pengambilan satu bola adalah S = {P,P,P,P,M,M,M} dengan setiap bola mempunyai peluang yang sama untuk terambil. Misalnya kejadian terambil bola merah adalah A, maka n(A) = 3. Jadi,peluang kejadian terambilnya bola merah adalah P(A) = .

4.    Frekuensi Harapan

Frekuensi harapan adalah peluang kejadian tersebut dikalikan banyak percobaan. Misalnya kita melakukan n kali percobaan dan A adalah kejadian dengan peluang p dengan (0 £ p£ 1). Frekuensi harapan dari kejadian A adalah p Î n. Jika E adalah suatu kejadian dalam ruang contoh S dan P(E) adalah peluang terjadinya E dalam n kali percobaan maka frekuensi harapan kejadian E didefinisikan :

F(E) = P(E) Î n

Contoh

Sekeping uang logam dilempar 30 kali,maka frekuensi harapan muncul gambar adalah. . .

Penyelesaian

F(G) =  Î 30 = 15 kali

5.    Kejadian Majemuk

Kejadian majemuk dapat dibentuk dengan cara menggabungkan dua atau lebih kejadian sederhana. Dengan menggunakan operasi antarhimpunan,suatu kejadian majemuk dapat dibentuk dari dua kejadian majemuk yang lain. Operasi antarhimpunan yang dimaksudkan adalah operasi gabungan (union) dan opersi irisan.

 

Gambar. Daerah yang diarsir menyatakan A È B

Gambar. Daerah yang diarsir menyatakan A Ç B

 

6.    Peluang dari Gabungan Kejadian

Misalnya A dan B adalah dua kejadian yang terdapat dalamruang sampel S,maka peluang kejadian A atau B adalah P(AÈB) = P(A) + P(B) – P(AÇB)

7.    Peluang Gabungan Dua kejadian Saling Lepas

Apabila A dan B merupakan dua kejadian yang saling lepas ,maka peluang gabungan dua kejadian itu adalah P(AÈB) = P(A) + P(B).

 

8.    Peluang Komplemen suatu kejadian

Misal sebuah dadu bersisi enam dilempar sekali. Kejadian A adalah munculnya bilangan 3 dan ditulis A = {3}. Kejadian A¢ adalah munculnya bukan bilangan 3, ditulis A¢ (dibaca: A komplemen) = {1,2,3,4,5,6}. Diagram Venn untuk himpunan A dan A¢ dapat digambarkan seperti berikut.

Dari gambar di atas tampak bahwa AÇA¢ = Æ sehingga kejadian A dan kejadian A¢ merupakan kejadian yang saling lepas. Dengan demikian berlaku hubungan

P(AÈA¢) = P(A) + P(A¢)        (*)

Karena A¢ merupakan komplemen A , maka AÈA¢ = S atau n(AÈA¢) = n (S). Jadi,

P(AÈA¢) =  =  = 1       (**)

Substitusi persamaan (**) ke persamaan (*) akan menghasilkan

P(AÈA¢) = 1 =  P(A) + P(A¢) Û P(A¢) = 1 – P(A)

Sehingga dapat dinyatakan bahwa

Apabila A dan A¢ merupakan dua buah kejadian yang saling komplemen, maka

peluang komplemen kejadian A, ditulis P(A¢), adalah  P(A¢) = 1 – P(A)

9.    Kejadian yang Saling Bebas

Misalkan dua buah bola akan diambil secara acak dari sebuah tas yang memuat 4 bola merah dan 3 bola biru. Berapa peluang keduanya bola merah? Jika A kejadian mendapatkan bola merah pada pengambilan pertama dan B kejadian mendapatkan bola merah pada pengambilan kedua. Ruang sampel S di bawah ini akan disajikan dengan dua versi yaitu dengan pengembalian dan tanpa pengembalian. Persoalan yang akan dibahas adalah P(A dan B) atau P(A Ç B).

1. Bola pertama dikembalikan sebelum bola kedua diambil.

Ruang sampel S memuat 49 elemen (7 Î 7),

A dan B memuat 16 elemen (4 Î 4)

Maka : P(A Ç B) =

=

P(A Ç B) = P(A) . P(B)

Hasil dari A Ç B terletak di daerah persegi pada gambar di atas.

 

2.      Bola pertama tidak dikembalikan sebelum bola kedua diambil. Pada pengambilan pertama kita dapat memilihi 1 dari 7 bola, tapi pada pengambilan kedua hanya ada 6 pilihan. Jadi, ruang sampel memuat 6 elemen. Kejadian A dan B memuat 4 Î 3 atau 12 elemen, sebab 4 bola merah dapat dipilih pada pengambilan pertama, dan hanya 3 pilihan bola merah pada pengambilan kedua,

Maka P(A Ç B) =

 P(A Ç B) =

 P(A Ç B) = P(A) . P(B/A)

Peluang kejadian B dengan syarat A telah terjadi.

 Contoh tersebut secara umum disebut peluang bersyarat

Untuk P(A) peluang kejadian A, P(B/A) peluang kejadian B dengan syarat A telah terjadi. Jika P(A Ç B) peluang terjadinya A dan B, maka  P(A Ç B) = P(A) . P(B/A)

Dua kejadian seperti tersebut dinamakan tidak saling bebas. Jika P(B/A) = P(B) maka akan diperoleh

P(A Ç B) = P(A) . P(B)

Dan dua kejadian tersebut dinamakan saling bebas.